【分析方法导引】

当几何问题中出现角平分线和平行线的组合关系时，就可以想到要应用等腰三角形的基本图形进行证明。然后就应用将角的边的平行线与角平分线及角的另一边相交或将角平分线的平行线与角的一边及另一边的反向延长线相交的方法找到等腰三角形的基本图形。再应用角平分线、平行线、等腰三角形中任何两个性质成立就可以推得第三个性质成立的方法来完成分析。

例21 如图3-77，已知：△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，MD⊥AB且交∠ACB的角平分线于D。求证：MD=MC。

图3-77

分析：本题要证明的结论MD=MC是两条具有公共端点的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形（如图3-78），问题就成一个等腰三角形的判定问题，也就是问题应转化为证MD=MC的等价性质∠D=∠MCD。

图3-78

由于∠D除了是△MDC的一个内角以外，与∠MCD没有其他的位置关系，所以不易直接建立它们之间的等量关系，在这种情况下就应考虑将∠D改变位置。由于条件中∠D尚没有直接与圆发生关系，所以首先可考虑将∠D进行平移，实质上就是作DM的平行线，当然所作的平行线只要一越过CD与AB的交点，在平移中的∠D的同位角就会转化成内错角。然而我们作平行线的时候，就会立即发现这时图形中出现了等腰三角形和平行线的组合关系，于是就必定会出现一个角的角平分线，因而这条平行线就必须过C点作，也就是过C作CE∥MD交AB于E（如图3-79），那么由∠D=∠ECD，可知问题转化成应证∠ECD=∠MCD，有已知条件∠ACD=∠BCD，问题有进一步转化成要证∠ACE=∠BCM。

图3-79

根据前述的作图CE∥MD，而已知MD⊥AB，所以就有CE⊥AB，CE就成为直角三角形斜边上的高，这样就可以应用直角三角形斜边上的高的基本图形的性质得∠ACE=∠B，问题就成为要证∠BCM=∠B。

根据条件M是Rt△ABC的斜边AB的中点，所以可应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明，从而就可得MC=MB=1/2AB,∠MCB=∠B（如图3-80），分析就可以完成。

图3-80

本题也可以从另一种可能性出发进行分析：本题要证明MD=MC，由于M是斜边AB的中点，所以可应用直角三角形斜边上的中线的基本图形性质得MC=MA=MB，这样就出现了D和A、C、B这四个点应在同一个圆上（如图3-81）。这个圆就是△ABC的外接圆。在这个圆中，∠ACD和∠BCD是两个相等的圆周角，所以它们所对的弧相等，因此CD与∠ACB所对的弧AB（实质上就是半圆）的交点就是弧AB的中点，也就是弧AB的中点必定在CD上。另一方面MD⊥AB，且MA=MB，所以MD与弧AB的交点也是弧AB的中点，也就是弧AB的中点也必定在MD。根据以上这两个性质可得弧AB的中点就是CD和MD的交点D，所以就有MD=MC。

图3-81

例22 如图3-82，已知：矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，CE⊥BD垂足是E，∠BAD的角平分线交EC的延长线于F。求证：AC=FC。

图3-82

分析：本题要证明AC=FC，这是两条具有公共端点的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形，这就成为一个等腰三角形的判定问题。又因为已知E、C、F成一直线，图形中出现了这个要证明的等腰三角形的顶角的外角，所以问题就成为要证AC=FC的等价性质∠ECA=2∠F（如图3-83）。

图3-83

现在要证明一个角是另一个角的两倍，就可以根据角的倍半关系的定义，将大的角两等分，也就是作∠ECA的角平分线交BD于G（如图3-84）后，应证∠GCE=∠F。由于我们作出了一条角平分线，而要证明的是一个等腰三角形，所以就出现了角平分线和等腰三角形的组合关系，从而就一定出现一组平行线，所以问题实质上就成为要证CG∥FA。由于CG、FA这一组要证明的平行线，也可以看作是被BC所截，所以问题就成为要证∠AHB=∠GCB。

图3-84

由条件四边形ABCD是矩形，AD∥BC和AH平分∠BAD，可得∠AHB=∠HAD=1/2∠BAD=45°，所以问题就是要证∠GCB也是45°，就是要证∠GCB=∠GCD。由于我们已经作出∠GCO=∠GCE，所以问题又成为要证∠BCO=∠DCE。由条件CE⊥BD，CE就是直角△BDC的斜边上的高（如图3-85），应用直角三角形斜边上的高的基本图形的性质可得∠DCE=∠DBC，而应用矩形的性质又可得OB=OC，∠OBC=∠BCO，所以∠BCO=∠DCE可以证明，从而可完成分析。

图3-85