【分析方法导引】

当几何问题中出现了等腰三角形中的下列三种条件之一：顶角的角平分线；底边上的高；底边的中点或出现了一线端（将其看作是某三角形的一条边）上的高、中线或所对角的角平分线中的两条重合在一起时，就可以想到要应用等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明。这时总共可出现六种可能情况，就按每一种情况分别讨论完成基本图形的添加。就下来就可以根据基本图形的四个基本性质所具有的两两等价性质完成分析。即在这四个基本性质中，只要有两个成立，就必定可以推得另外两个成立。在分析中一般的情况是，四个性质中有一个是要证明的结论，有一个是已经给出的条件，从而要证明结论成立，就应转而证明另外两个性质中的一个，只要其中的一个性质获证，那就可以根据两两等价性推得结论成立。由于在上述分析过程中要在两个性质中选择证明一个，所以必然也就出现了分析上的两种可能性。

例5 如图3-100，已知：XY是⊙O外一直线，OA⊥XY，垂足是A，过A作⊙O的割线交⊙O于B、C，过B、C分别作⊙O的切线交XY于D、E。求证：AD=AE。

图3-100

分析：由结论AD=AE和条件OA⊥DE，就出现了边DE上的高和中线重合的关系，从而就可应用等腰三角形中重要线段这个基本图形的性质进行证明。应用或添加的方法是将等腰三角形的腰添上，于是联结OD、OE（如图3-101），问题就成为要证明OD=OE或∠DOA=∠EOA。

图3-101

若考虑证明OD=OE，则由于条件中还出现BD、CE是⊙O的切线，故要应用切线的性质，但现在图形中，过切点的半径尚未作出，所以首先应将半径添上，于是联结OB、OC（如图3-102），可得∠OBD=∠OCE=90°，而OB、OC都是⊙O的半径，当然相等，所以就出现了由同一点O发出的两组相等线段，当它们两两相交成等角时，就会出现一对旋转型全等三角形。由于它们两两组成△ODB和△OEC，在这两个三角形中，已经出现了∠OBD=∠OCE=90°，所以这两个三角形必定全等。而要证明这两个三角形全等，还需要证明一组对应边或对应角相等。由于一对旋转型全等三角形必定同时出现两个圆内接四边形，所以可以先考虑证明一组对应角相等。于是由∠OCE=90°和条件中给出的∠OAE=90°，可得O、A、E、C四点共圆（如图3-103），∠OEC=∠OAC，根据类似的道理，由∠OBD=∠OAD=90°，可得O、D、A、B四点共圆，∠ODB=∠OAB，从而就可以证明∠ODB=∠OEC，分析就可以完成。

图3-102

图3-103

在证明OD=OE时，也可以作为一个等腰三角形的判定问题，而转化为证明OD=OE的等价性质∠ODE=∠OED。这样由条件中出现的两条切线，就可以应用切线的性质联结OB、OC后，可得∠OBD=∠OCE=90°，并进一步可得O、A、E、C四点共圆，∠OEA=∠OCA和O、D、A、B四点共圆，∠ODA=∠OBC是等腰△OBC的两个底角，当然相等，所以∠ODE=∠OED也就可以证明（如图3-104）。

图3-104

若考虑证明∠DOA=∠EOA，则由条件中出现的切线想到要应用切线的性质，于是联结OB、OC后，可得∠OCE=∠OAE=∠90°，O、A、E、C四点共圆，∠EOA=∠ECA和O、D、A、B四点共圆，∠DOA=∠DBA，这样问题就转化成要证∠ECA=∠DBA，由条件EC与⊙O相切于C，CB是过切点的弦，∠ECB是弦切角，而且DB与⊙O相切于B，BC也是过切点的弦，∠DBA的补角也是弦切角，所以∠DBA的对顶角也是弦切角，于是延长DB交EC于F，则∠FBC=∠DBA，而∠FBC和∠FCB是夹同一条弧即弧BC的弦切角，当然相等，分析即可完成（如图3-105）。

图3-105

例6 如图3-106，已知：AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB垂足是E，F是CA的延长线上一点，且AF=AC。求证：CF·CA=AB·DF。

图3-106

分析：本题的条件中出现了AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，所以就可应用垂径定理得CE=DE。

又因为条件还出现A是CF的中点，这样就出现了两个中点，是多个中点问题，就可以应用三角形中位线的基本图形的性质进行证明（如图3-107），于是就可得AE∥FD。

图3-107

再由条件AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，就可以应用直径所对的圆周角的基本图形的性质进行证明，但图形中这个半圆上的圆周角尚未出现，所以应先将这个圆周角添出，也就是联结BC，可得∠ACB=90°（如图3-108）。

图3-108

由于我们要证明的结论CF·CA=AB·DF，经过描图以后，我们可以发现它们两两组成△ACB和△FDC，且结论就是它们的对应边之间的比例关系，所以问题可转化为证明这两个三角形形相似。由我们已经证明的性质AB∥FD，可得∠CAB=∠DFC，∠CDF=∠CEA=90°，所以∠ACB=∠FDC=90°，从而就可以证明△ACB∽△FDC，分析就可以完成。

例7 如图3-109，已知：△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，DE∥CA交⊙O于E，EF⊥AC交⊙O于F。求证：AF^2=AD·BD。

图3-109

分析：本题条件中出现AC是⊙O的直径，D是半圆上的点，所以可应用直径所对的圆周角的基本图形的性质进行证明。由于图形中尚未出现这个圆周角，所以应先将这个圆周角添出，也即联结CD（如图3-110），就可得∠CDA=90°。

图3-110

由条件∠ACB=90°，这样就出现了CD是Rt△ABC的斜边上的高，从而就可以应用直角三角形斜边上的高的基本图形的性质进行证明（如图3-111）。于是应用射影定理可得CD^2=AD·BD，将这一性质与结论进行比较，可得问题就转化为要证AF=CD。

图3-111

由条件AC是⊙O的直径，EF是弦且EF⊥AC，出现了垂直于弦的直径，所以就可以应用垂径定理得弧AF=弧AE，由条件DE∥CA，又可得弧AE=弧CD，所以弧AF就和弧CD相等，也就可以证明AF=CD。