撰文/王江山

本文节选自《知识就是力量》杂志

“do, re, mi……”随着这几个简单的音节，我们开始了人生的第一堂音乐课，数字简谱以1、2、3、4、5、6、7代表音阶中的7个基本音阶，读音为do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。

提到数学与音乐的关系，我们所能想到的第一个有关音乐与数学的结合，也许就是这7个基本音阶了。但你可曾想过，这些音阶是按照什么规律排列的呢？让我们回到2500年前，追随大名鼎鼎的古希腊数学家毕达哥拉斯的脚步，看看他是怎么解答的吧。

毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家和数学家，他认为“万物皆数”“数是万物的本质”，是“存在由之构成的原则”，而整个宇宙是数及其关系的和谐体系。

据说，毕达哥拉斯曾在散步时路过一家铁匠铺，铁匠铺里传出的叮叮当当的敲击声吸引了他的注意，他走进去，发现这些美妙的声音原来是源于铁锤和铁砧的大小不一，故而发出的声音也不同，这同时也激发了他的思考。那么，这些音乐的和谐与什么有关呢？

众所周知，毕达哥拉斯开创了自己的数学学派，该学派信奉数是万物的起源，因此宇宙和谐的基础应当是完美的数的比例，而音乐之所以给人以美的感受，很大程度上是因它有着一种和谐。在这种意识的启发下，毕达哥拉斯用不同的乐器做了许多的实验，进而发现声音与发声体体积有着一定的比例关系。而后，他又在琴弦上做了试验，发现只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程，而它们彼此间是存在着比例关系的。

那么，这个比例是什么呢，能不能通过数学的方法计算出来？毕达哥拉斯又进一步进行了实验。经过更多的实验和推算，毕达哥拉斯发现，当弦长比分别为2∶1、3∶2、4∶3时，发出的音律最为和谐。这就是我们后来所使用的“五度相生律”。

毕达哥拉斯当年做测试时用的很可能就是竖琴。竖琴是一种大型拨弦乐器，可以认为它是一切古典式弦琴的起源。它所发出的音色空灵纯净，清澈动听，作为和声伴奏极具感染力，而独奏时又能演绎柔和优美的抒情片段 。

那么，为何弦长符合这些比例时，我们会觉得音乐和谐悦耳呢？

众所周知，声音是由振动产生的，但音的频率是按照等差数列排列的，同一根弦，其有效弦长与发音频率成反比关系。因此，当拨动一根弦时，其各等分点为界的弦也在各自振动，因而会产生一系列的音，我们将这些音称作“第一泛音”、“第二泛音”、“第三泛音”……而这些音之间，某些分界点产生的音连接起来会显得特别优美，我们可以说这些是泛音列中占优势的音程关系。而按照毕达哥拉斯的发现，这些纯音程的频率之比都是最简单的自然整数比。

美的东西，总是简单而和谐。依据五度相生律产生的基础音阶构成的旋律，按照任意的方式组合，都有各自的美感，而将全部半音阶推算出来后，旋律的紧张度和动力性会得到增强，更能产生旋律之间动态的美感和张力。

正如莱布尼茨的名言所说：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”音乐正如有情绪的数学，而数学则像最纯粹的音乐，乐音激荡，而数字翩跹，音乐与数学恰似人类心智开出的两朵玫瑰。就让我们沉醉其中，纵情感受它们的魅力吧！