数学家乌拉姆。https://commons.wikimedia.org

撰文 | 丁    玖（南密西西比大学数学系教授）

责编 | 黄俊如

今天是出生于波兰的美国数学家斯塔尼斯拉夫乌拉姆(Stanislaw Ulam, 1909-1984)逝世35周年纪念日。一个月前在他冥寿110周岁时，我写了一篇文章“贤者的奇迹：纪念乌拉姆诞辰110周年”，简略回顾了他非凡的一生，列举了他几大科学成就，并侧重介绍了他在 “改变历史进程” 的氢弹研制中 “一个数学家的经历”。

了解乌拉姆那类人的科学业绩，对于只需或只想读读科学家生平故事的那些人，或许也就够了，但是对更想吸取他们的科学思想、对其治学之道或研究方式更喜欢追根求源的另一些人，仅仅知道这种流于表面的认识是比较肤浅的，甚至没有多少深刻的科学意义。

乌拉姆1940年代参与美国原子弹研制的同事理查德·费恩曼(Richard Feynman, 1918-1988)，曾多次回忆起他的父亲是如何教导少年时代的他的：“你如果对一只鸟只知道它的名字，而对它的习性却一无所知，那么你对那只鸟的了解几乎为零。”费恩曼认为父亲这种简单而有智慧的观点影响了自己的科学生涯一辈子。

同样的道理，我们如果只满足于知道乌拉姆做了什么却不知道他是如何做的，就相当于学数学的人不看定理的证明而只看定理的结论。我们知道这种“只知其然而不知其所以然”的学习法是成就不了数学家的。

许多学数学的人都想成为职业数学家，但是许多真正的数学家却不把自己看成是纯粹的数学家，至少不把自己局限于数学的地盘。我记得十年前有人采访斯梅尔 (Stephen Smale, 1930-) 教授时，这个因为证明了五维以上的广义庞加莱猜想而获得1966年国际数学家大会菲尔兹奖的美国本土数学家，只把自己称为“数学科学家”。或许他对自己的定位与乌拉姆有密切的关系。我多年前翻阅过的一本乌拉姆身后出版的文集Science, Computers, and People（《科学、计算机及故友》），由美国数学科普大家马丁伽德纳(Martin Gardner, 1914-2010)执笔的前言之第一段是这样写的：

乌拉姆， 或如同他朋友口中的 “斯坦”（Stan），是那些伟大的创造型数学家之一，这些人不仅对数学的所有领域感兴趣，而且同样对物理及生物科学亦然。和他好朋友冯·诺依曼一样而与他众多的同行不一样的是，乌拉姆不可被分类为纯粹或应用数学家。在那些与应用问题没有一丝一毫关联的纯粹地带，以及在数学的应用中，他都从不停止寻找同样多的美和激动。（本段由作者翻译。）

 

乌拉姆对自己的这种“与众不同”也毫不讳言。在那本脍炙人口的自传Adventures of a Mathematician（其初版的中译本书名是《一位数学家的经历》）的开头，他就告诉读者他四岁时就对家中客厅波斯地毯上的几何图案着迷。当他身为律师的父亲对此不以为然而笑起来时，他心里自言自语道：“他笑是因为他认为我是幼稚的，但是我知道这些是令人好奇的模式。我知道我父亲所不知道的某样事情。”

 

这大概就是他终生热爱探讨新事物的天赋之才的最初显示。后来他在自传中说：“我是那种喜欢开始新事物而不是改进或精雕细琢之人。” 去年高等教育出版社出版的一本新书《杨振宁的科学世界》中，有杨振宁先生在采访中说的一段话：“我看见他（乌拉姆）的时候呢，他人很有意思。他一看见了就问你一个问题，这个问题可能是集合论的，也可能是组合的，甚至可能是打扑克牌的。然后你去想，跟他讨论，他就不发生兴趣了。他只发生兴趣是……”

        

他喜欢提问题的另一个佐证，是上世纪30年代波兰数学学派名扬天下之时，那批以巴拿赫(Stefan Banach, 1892-1945)为首的波兰数学精英在苏格兰咖啡馆讨论数学及时记下的数学问题录——现已在国际数学界名闻遐迩的《苏格兰笔记本》，以年轻的乌拉姆贡献的问题最多！

 

正是由于喜欢与人讨论，喜欢提出问题，乌拉姆从他大脑里萌芽而出的 “对要点的感觉”（用他自己的话就是 “What I may have is a feeling of the gist, or maybe only thegist of the gist”），日后成了几大数学领域的开端。

 

比如，“细胞自动机理论”最初是他向冯·诺依曼提出来的；“蒙特卡罗方法”来源于如何对付不仅在概率论而且在看上去与前者没太多关系的数论中棘手的问题；后来掀起孤立子和混沌研究热潮的“非线性分析”，从他玩弄计算机的手指中汩汩流出。对于今日在几乎所有科技领域都有不俗表现的“混沌”，乌拉姆曾有一句戏谑之语：“把混沌研究称之为‘非线性分析’，就好比是把动物学说成是‘非大象一类动物’的研究。”

 

肇始于乌拉姆、冯·诺依曼、费米等人研制原子弹的实际需要以及现代电子计算机的及时问世，非线性分析的目的主要是探索任何随时间而变化的量、图形或模式，当时间走向无穷大时的最终性态。它在离散时间的情形本质上就是迭代一个非线性变换看看迭代点最后会在哪里。乌拉姆通过他智慧大脑极强的抽象能力和分析功夫，借助于计算机这个自从他最亲密的朋友冯·诺依曼去世后他最要好的非人类朋友的帮助，在这个如今已发展出令众多数学家、物理学家、工程学家及生命科学家孜孜以求的巨大领域，创造出许多原始的思想和方法。它们已经遍地开花，早已成为激励一代代科学工作者的一大笔精神遗产。

 

他的一大部分精神遗产已经浓缩在他那不朽的小书A Collection of Mathematical Problems（《数学问题集》）中。这本1960年初版的精装小册子只有150页，却成就了不少数学家，包括我的师爷约克(James Yorke: 1941-)教授和我的师傅李天岩教授。他们师徒二人一生中最有名的工作，是那篇只有区区八页但已被引用了好几千次的开创性文章Period Three Implies Chaos（“周期三则意味着混沌”）。它从“混沌之父”洛伦兹(Edward Lorenz) 于1960年代初发现天气预报 “蝴蝶效应” 的论文中，提炼出数学名词 “混沌” 的定义和意义。约克和李天岩两人各自都有其他杰出的工作，而且都与乌拉姆的《数学问题集》有关。

 

《数学问题集》中有一章与非线性分析有关，标题为“Some Questions in Analysis”（分析中的一些问题），实际上就是与非线性分析有亲戚关系的遍历理论。

 

事实上，乌拉姆从20岁发表的第一篇论文起的早期工作就在集合论，而他21岁时发表的一生中第三篇论文将测度论与一般集合论联系在一起，并证明了一个非常基本的测度论定理。在他33岁的一篇合作并发表在Annals of Mathematics中的长文中，乌拉姆证明了统计力学中的遍历假设对 “几乎所有的变换” 都成立。他在1940年代发表的其他合作文章中，最早建立了动力系统“结构稳定性”的基础；斯梅尔1960年代通过他所构造的 “马蹄铁变换” 对结构稳定性概念的发展贡献巨大。而在更早的1934年，乌拉姆就和一位合作者发展了概率论的测度论基础，这独立于柯尔莫哥洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-1987) 1930年代提出的概率论公理化方法，并且更早。

 

这些在几大分析领域中的先驱工作和巨大影响，令乌拉姆有资格、有能力提出具有挑战性的新问题。下面举个我比较熟悉的例子。

 

如果有一个将区间映到自己的变换，我们就可以从区间中任意一个初始点出发逐次迭代这个变换而得到所对应的 “迭代点轨道”。如果对大多数初始点而言，其迭代点轨道都遵循同一个由某个定义在区间上的密度函数所确定的分布规律，那么这个密度函数被称为该离散动力系统的“不变密度函数”，它决定了迭代点轨道在区间中最终的位置分布。不变密度函数是给定变换所对应的、被乌拉姆以Frobenius和Perron两位德国数学家名字命名的一个无穷维算子（他在书中称之为Frobenius-Perron算子）的不动点。

 

但是如果不停地迭代一个非线性变换，“有无不变密度函数存在” 便是一个问题，即便这个变换看上去很简单，比如它的图像是一条逐片线段。那时，这个问题还没有解答。

 

在第六章第四节的某一段，乌拉姆问：如果把单位区间映到自身的一个变换f由足够简单的函数定义（例如逐片线段函数或多项式），其图像不以斜率绝对值小于1的方式通过直线y=x，其对应的Frobenius-Perron算子有一个非平凡的不变函数吗？正如乌拉姆接下来所说的，即便对每一个如下形式的逐片线性变换，问题的解答都是未知的。这样的变换是：当x大于或等于0并且小于或等于1/2时，其值为2x，而当x大于或等于1/2并且小于或等于1时，其值为(2-a) + 2(a-1)x，其中a是一个小于1/2的正数。

 

十三年后的1973年，乌拉姆祖国的后起之秀、波兰科学院院士洛速达(Andrzej Lasota, 1932-2006)和他的合作者、美国马里兰大学的数学教授约克，在美国数学会的期刊Transactions of the American Mathematical Society上发表了一篇论文，回答了乌拉姆提出的上述问题。

 

论文的题目是“On the existence of invariant measures for piecewise monotonic transformations”（关于逐片单调变换不变测度的存在性），它的一句话摘要简单明了地概括了文章的主要贡献：本文证明区间 [0, 1] 上的一类逐片连续、逐片二次连续可微的变换有绝对连续不变测度。

 数学家约克。本图由作者提供。

洛速达和约克证明，对于将区间映到自身的逐片单调变换，只要其导数的绝对值处处大于或等于一个大于1的常数，那么这个变换就有一个绝对连续的不变概率测度，或言之，其对应的Frobenius-Perron算子就有一个非平凡的不变函数。特别，乌拉姆想要知道结果的上述那类逐片线性变换个个满足洛速达-约克定理的条件，因而都有绝对连续的不变测度。

 

洛速达-约克的这篇论文现已成为现代遍历理论中的经典之作。更进一步，它又催生了一篇计算遍历理论的经典之作，其作者就是约克的弟子李天岩。

 

李天岩是个干什么都想把问题搞个水落石出的人物，在这方面他颇有一点乌拉姆的风格。但是，如果你对年轻时的他说，这是乌拉姆的一个猜想，你去做做看，他或许也会有点胆怯。这是他多年前对我回忆他与乌拉姆猜想的历史渊源时这样承认的，因为当时在他眼里，乌拉姆是和冯·诺依曼一个等级的大数学家，他没有解决的问题自己能解决吗？

1970年代中期，李天岩对洛速达-约克类变换，构造了与阶梯函数有关的一个投影算法，将求Frobenius-Perron算子的不动点问题化约成有穷维的矩阵计算问题，从而算出不变密度函数的阶梯函数逼近。更进一步，他证明了这个方法的收敛性，即当子区间的个数趋于无穷大时，其对应的阶梯函数序列收敛到精确的不变密度函数。文章顺利地被 Journal of Approximation Theory（《逼近论杂志》）接受，当时的标题是“Finite Approximation for the Frobenius-Perron Operator”（Frobenius-Perron 算子的有限维逼近）。

 

这时，有人告诉李天岩：你的方法1960年就由乌拉姆提出来了，但他没有给出收敛性的证明。李天岩查到，他的方法的确就是乌拉姆在《数学问题集》中第74-75页所构造出的“乌拉姆方法”，乌拉姆还猜测他的方法是收敛的。这就是计算遍历理论这一现代研究领域中著名的“乌拉姆猜想”。

 

换言之，他和乌拉姆想到一块儿去了，前后相差15年，心有灵犀一点通地独立构造了同样的算法。更重要的是，李天岩对洛速达-约克变换类证明了乌拉姆猜想！

 

兴奋之余，李天岩将文章的标题加了五个单词，变成“Finite Approximation for the Frobenius-Perron Operator, a Solution to Ulam’s Conjecture”（Frobenius-Perron算子的有限维逼近——对乌拉姆猜想的一个解答）。

     

李天岩与丁玖。本图由作者提供。

我相信由于乌拉姆在数学界的巨大声望，李天岩这篇题目变长了一点而最终于1976年发表的论文，肯定也大大增加了读者的人数。这不仅提升了一位年轻数学教授的学术声誉，而且也增强了自己挑战未决问题的自信心。后来李天岩教授向我透露，他成功赢得古根海姆奖(Guggenheim Fellowship)，“乌拉姆猜想” 功不可没！

 

1996年，受李天岩教授先驱性工作的启发，中科院计算数学研究所的周爱辉与我对一类高维变换证明了乌拉姆猜想。然而，对于许多其他的一维或高维非线性变换类，“乌拉姆猜想”依然还是猜想! 年轻的读者朋友，如果您在动力系统的计算遍历理论领域中耕耘，就可以把眼光瞄准这个有无穷魅力的著名猜想。

 

1974年出版的乌拉姆另一本论文集Sets, Numbers, and Universe（《集、数和宇宙》），其第三部分就是上述的《数学问题集》，但易名为Problems in Modern Mathematics（《现代数学中的问题》）。之前的1964年，这本问题集也出了一个平装版本。可见这本内容精练的书在数学界的影响力，美国的《数学评论》(Mathematical Reviews ) 中对本书的一篇书评将它与希尔伯特1900年在国际数学家大会上提出的 “23个未决问题” 相提并论并作了比较。

 

乌拉姆已经离世35年了，但是他的精神遗产依然是那样的丰富多彩。对于我们这个千百年间把知识积累看得比创新能力更为重要的文明古国，他的数学思想及他对科学的见解更没有过时。

 

约克教授曾经告诉我，他的博士生说他 “知道的定理不一定比他们多，但他能创造定理”。比如说在上述他和洛速达解决乌拉姆所提问题的那篇文章中就有关于有界变差函数的 “约克不等式”，而几乎所有的数学分析或实变函数教科书中列举了有界变差函数的许多性质，却没有这个不等式，因为这是约克为了研究的需要而发现的一个有用不等式。

 

乌拉姆曾经非常谦虚地说自己 “我不能宣称我知道数学方面的许多技术性材料”，但是他试图强调，是火花迸发的思想，而不是车装斗量的知识，是让数学与科学的发现帮助人类改变历史进程的不二法门。我想这大概是乌拉姆留给我们的最大精神遗产。

写于2019年4月30日，美国哈蒂斯堡市

定稿于2019年5月13日，乌拉姆逝世35周年