一名政治评论家在审视外国学术机构时会着眼于一个晦涩难懂的数学概念，这对于今天的我们来说，不仅令人吃惊，而且简直是有些匪夷所思。在我们看来，高等数学的概念是相当抽象和通用的，它们不可能与文化或者政治生活有关。它们是那些训练有素的专业学者的专属领域，甚至不与现代的文化评论挂钩，更不用说那些政治人物了。但在早期的现代世界，情况却并非如此，索比耶远非唯一一个关注“无穷小”的非数学家。事实上，在索比耶生活的时代，拥有迥然不同的宗教和政治背景的欧洲思想家和学者们，都曾经不知疲倦地竞相企图扑灭不可分学说，并试着从哲学和科学方面考虑，来消除这种学说。在霍布斯与沃利斯就无穷小问题而争论不休的那些年里，SJ也正在开展针对无穷小的斗争。在法国，霍布斯的老相识笛卡尔在最初曾对无穷小表现出了相当大的兴趣，但最终还是改变了主意，并从他包罗万象的哲学体系中禁止了这一概念。甚至一直到18世纪30年代，乔治·贝克莱（George Berkeley）还在嘲笑数学家使用无穷小的行为，他称这些数学对象为“消失量之鬼”（the ghosts of departed quantities）。与这些反对者相对抗的是那个时代一些最杰出的数学家和哲学家，他们提倡使用无穷小的概念，除沃利斯之外，还包括伽利略及其追随者、伯纳德·勒·波维尔·德·丰特奈尔（Bernard Le Bovier de Fontenelle）、牛顿。

为什么这些早期现代世界最优秀的人才会为了这个“无穷小”概念斗争得如此激烈呢？其原因就是，这不仅仅是一个晦涩难懂的数学概念那么简单，它还关系到很多方面：这是一场关乎现代世界面貌的斗争。两大阵营在无穷小问题上针锋相对。其中的一方集结了等级制度和秩序的所有支持者。他们信仰统一而固定的世界秩序，信奉自然界和人类社会都应如此，强烈反对无穷小学说。另一方是相对“自由主义”的人，比如伽利略、沃利斯和牛顿的支持者们。他们信仰更加适度和更加灵活的秩序，从而能够接受一些其他的观点以及多样化的权力中心，他们提倡无穷小学说，同时提倡在数学中使用无穷小方法。这两个阵营的界线已经划定了，不管最终哪方取得胜利，都将在即将到来的世纪里，给这个世界留下其深深的烙印。

伽利略弟子卡瓦列里（左）与托里切利（右）

托里切利出生于一个中等收入家庭，极有可能位于意大利北部的法恩扎（Faenza）。在他16岁或者17岁的时候，年轻的托里切利搬到了罗马，并且开始迷恋上数学。正如他在1632年写给伽利略的信中所提到的，他没有受过正式的数学教育，但“在耶稣会神父的指导下进行过自学”。指导他的人是本笃会修士贝内代托·卡斯泰利（Benedetto Castelli，1578—1643），他对这位年轻人的职业选择具有很大的影响作用。卡斯泰利乐于指导他人，并有意培养有前途的年轻数学家。现在他作为罗马大学的教授，将托里切利招至麾下，并向他传授伽利略和博纳文图拉·卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri，1598—1647，伽利略的弟子）的著作。

1632年9月，毫无疑问是在卡斯泰利的鼓励之下，托里切利给伽利略写了一封信，在信中介绍自己是“一名专业的数学家，虽然还很年轻，但已经跟随神父卡斯泰利学习了6年数学”。当时，《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》（Dialogue on theTwo Chief World Systems，以下简称《对话》，这是伽利略关于哥白尼体系的一本非常流行的著作，它最终导致了伽利略被宗教裁判所审判并定罪）刚刚问世几个月，将导致伽利略在随后几年遭受审判和软禁的一系列事件正在进行之中。托里切利首先向老宗师保证，卡斯泰利会利用一切机会来捍卫《对话》，以避免“轻率的决定”。然后，他开始介绍自己作为一名几何学家和天文学家，以及作为伽利略的忠实追随者的学习经历。他写道：

在罗马，我是第一个刻苦钻研过您的著作的人……对此我感到十分荣幸。您能想见，一个在几何学方面经历了很多尝试的人，在看到您的著作之后的那份喜悦。我学习过阿波罗尼奥斯（Apollonius）、阿基米德、西奥多修斯（Theodosius）的几何学，并且研究过托勒密的学说，阅读过第谷、开普勒和隆哥蒙塔努斯（Longomontanus）的几乎所有著作，最终我信仰了哥白尼学说……并公开承认我属于伽利略学派。

对于托里切利来说不幸的是，《对话》及其作者在不到一年之后即受到了审判，事实证明，这时在罗马作为一名狂热的伽利略信徒是相当危险的。这也可能解释了为什么在此后的将近10年里，我们再没有听到关于托里切利的任何消息。他仍留在罗马，在私下里从事他的数学研究工作。他研究了伽利略在1638年出版的《论两种新科学及其数学演化》（Discourses andMathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences，以下简称《论述》），并一直低调行事。他只在1641年3月再次被提及，当时卡斯泰利获准访问阿尔切特里，并写信给伽利略宣布这个好消息。(1632年至1633年，伽利略被指控为异端，遭到了宗教裁判所的审判并被判软禁，他此后一直生活在位于佛罗伦萨之外阿尔切特里（Arcetri）的别墅里。）卡斯泰利说托里切利曾经是他10年前的学生，并答应将会给他带来由这位年轻人写的一份手稿。他对这位老人奉承道：“您会看到，一个非常有道德的年轻人将如何继承您为人类文明铺就的道路。他将向我们展示，您在运动研究方面播下的种子将会结出如何丰硕的成果。您还将看到他为阁下的学派所带来的荣誉。”

这时，伽利略已经被软禁在自己的住所长达8年之久，这位孤独的老者很可能被手稿呈现出来的广阔前景和丰硕成果所打动了。这就是托里切利的杰出作品对他的最大影响。卡斯泰利交给他的手稿给他留下了深刻印象，他要求会见这位年轻的数学家。卡斯泰利对伽利略虚弱的身体和近乎失明的状态感到担忧，并十分担心他可能会不久于人世。他们一起筹备了一个计划：将托里切利带到阿尔切特里来担任伽利略的秘书，帮他编辑并出版他的最新作品。4月初收到邀请之后，托里切利回信说，他对突如其来的荣幸感到受宠若惊和“困惑”。不过他似乎并不急于离开繁华的罗马，搬到德高望重的大师所在的孤独寓所。他再三托辞，但最终还是在1641年秋天动身了。他收拾行李，搬进了伽利略在阿尔切特里的别墅。在那里，他主要编辑《论述》一书中的“第五天”内容，准备把它添加到1638年出版的四天对话内容之后。

托里切利到来仅仅3个月之后，他的使命便戛然而止了。1642年初，伽利略因患有心悸并伴发烧而病倒了。1642年1月8日，一代宗师与世长辞，享年77岁。作为一个被判决为“有强烈异端嫌疑”的人，他被安葬在了佛罗伦萨圣十字大教堂的一个侧面的小房间里，一个世纪以后才被迁到位于中央大殿的荣誉位置。与此同时，托里切利收拾他的东西，准备回到罗马。而就在这时，他收到一份令人吃惊的任命通知：他可以作为伽利略的继任者继续留在佛罗伦萨，并担任托斯卡纳大公的数学家以及比萨大学的数学教授。这项任命也为托里切利提供了一个千载难逢的机会：一个稳定的终身职位，并且有着丰厚的薪水，使他能够不受干扰地从事自己的研究，还有作为欧洲最伟大的科学家的继承人所获得的公众认可。他毫不犹豫地接受了这项任命。

在接下来的6年里，托里切利成果斐然。此前的托里切利一直鲜为人知，以至于伽利略几乎没有听说过他，卡斯泰利必须把他作为以前的学生来引荐给伽利略。但随着伽利略的去世，以及他被任命为美第奇的宫廷数学家，他一跃成为欧洲领先的科学家之一。他与法国科学家和数学家保持着长期并富有成效的通信，包括马兰·梅森（Marin Mersenne，1588—1648）和吉尔斯·德·罗伯瓦尔（Gilles deRoberval，1602—1675）；他还与意大利同事加利利·拉斐尔·马吉奥特（Galileans Raffaello Magiotti，1597—1656）、安东尼奥·纳迪（AntonioNardi），以及卡瓦列里保持着联系。由于受到《论述》一书的启发，他仔细考虑了伽利略的论点，即大自然“厌恶真空”的特性使得物体聚合在一起。这促使他在1643年通过实验证实了真空确实存在于自然界，并最终制成了世界上第一个气压计。

与伽利略和卡瓦列里经常出版作品不同，托里切利的大部分成果都体现在了他的书信和未发表的手稿中，而这些手稿只在他的朋友和同事之间传阅。唯一的一个例外是一本名为《几何运算》（Opera Geometrica）的书，它出版于1644年，包括一系列的论文，内容范围从物理学中的运动到抛物线围成的面积。其中的一些论文依赖于传统的数学方法，并源自于古人的命题，比如托里切利对球体的讨论。然而，第3篇题为“关于抛物线的面积”（de Dimensione parabolae）的论文，所使用的却远非传统上的方法：它以显著的托里切利的形式介绍了他自己的不可分量法。

虽然这篇论文被命名为“关于抛物线的面积”，但令人吃惊的是，其目的不是要计算抛物线所围成的面积。阿基米德早在1800多年以前就对这个问题进行过计算和证明，并且其结果已经被托里切利和他同时代的人所熟知。这个问题无须再进一步证明。这篇论文所给出的确实是对同一个结果的至少21种不同的证明方法。托里切利连续21次面对同一个定理，即“一条抛物线所围成的面积等于与它同底等高三角形面积的三分之四”，并且以不同的方法对同一个结果成功地进行了21次证明。这很可能是数学史上唯一一篇只为了证明一个单一的结果，而提供了如此之多不同的证明过程的论文。这是对托里切利作为一名数学家所应具备的精湛技巧的一次证明，但它的目的却并非如此。它的真正目的在于：将传统经典的证明方法与根据不可分量得出的新证明方法进行对比，从而说明新方法的明显优势。

“关于抛物线的面积”的前11次证明完全符合欧氏几何最高的严格标准，后10次证明则放弃了穷举法的传统模式，以不可分量法取而代之。正如托里切利所说，不可分量法是一项“了不起的发明”，这要完全归功于卡瓦列里。

事实上，卡瓦列里与托里切利的无穷小量方法之间存在着重要的区别。最关键的是，在托里切利的方法中，所有的不可分割线都组合在了一起，实实在在地构成了一个平面图形，而所有的不可分割面也在实际上构成了实体的体积。在他的证明中，他直接将“所有线”指向了“面积本身”，并将“所有面”指向了“体积本身”，他没有受到逻辑上的细枝末节的困扰，而这些细节曾令他的前辈感到十分纠结。托里切利的直截了当使得他的方法比卡瓦列里的更为直观和明确。

他们对于悖论的态度也是截然不同的。较为传统的卡瓦列里曾不惜一切代价尽量避开悖论，当在他的方法中遇到潜在的悖论时，他会曲折地解释它们为什么实际上不算是悖论。但托里切利却沉迷在悖论之中。他的文集包括至少3个独立的悖论列表，详细列举了各种巧妙的悖论，也就是，假设连续体由不可分量构成所产生的悖论。对于一个数学家来说，其方法的可信度正是建立在这个前提的基础之上，而他不但没有回避涉及立论前提的悖论，反而列举了大量悖论，这似乎显得有些出人意料。对于托里切利来说，这些悖论另有用途。它们不仅仅只是充当令人费解的消遣项目，而当人们从事严肃的数学研究时就把它们搁置在一边；恰恰相反，它们正是揭示连续体的实质和结构的研究工具。从某种程度上来说，悖论其实是托里切利的数学实验。在一项实验中，人们会创建一个非自然的环境，使之能将自然现象推广到极端状态，从而揭示隐藏在正常环境下的真理。对于托里切利来说，悖论起到了大致相同的作用：它们将逻辑推广到了极端状态，从而能够揭示连续体的本质，这是用正常的数学方法所不能实现的。

尽管有明显的逻辑风险，但托里切利的方法还是给当代数学家留下了深刻的印象。虽然不断游走于错误的边缘，但它也非常灵活，并且相当有效。在熟练和富有想象力的数学家手里，它成了一个有力的工具，可能导致新的，甚至惊人的结果。在17世纪40年代，这种方法被迅速传播到了法国，并很快席卷了整个欧洲大陆——承载着新的无穷小量数学的威力和未来。

作者: [美]阿米尔·亚历山大 
出版社: 化学工业出版社
副标题: 一个危险的数学理论如何塑造了现代世界
译者: 凌波 
出版年: 2019-5

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