高等数学自学指南(附书单介绍)

这一篇文章是针对数学专业大一新生，理工科大学生，有志于自学高等数学的中小学数学老师，少数有数学天赋的中学生， 和广大数学爱好者。文章主要以介绍相关数学教材为主，并附上一些本人对自学高等数学的个人建议。在介绍主要内容之前，我想先简单地做一些概括性的说明：

一，高等数学的范围可以界定成非常广阔，但限于篇幅，我们仅限于介绍高等数学中两门最核心最基础的学科：数学分析(微积分)和高等代数(线性代数)。

二，许多没接触过高等数学的人会误以为高等数学一定比初等数学难多了，其实就各种数学解题技巧而言，初等数学比高等数学要繁杂，困难多了，相比较之下，高等数学反而显得更加简洁，明晰。高等数学的高等只是表现在思维和思想层面。另外高等数学处理的内容和初等数学其实相差无几，只是处理这些内容的角度和观点截然不同。最后，和初等数学相比，高等数学更能体现数学的美感，有数学天赋的人第一次接触高等数学，都应该有一种被震撼的感觉。

三，最后，自学高等数学并不需要你有太多的预备知识，比如高中的许多数学知识对自学高等数学而言其实都不是十分必要的。自学高等数学真正考验的是抽象思维能力，逻辑推理能力。想知道一个中学生有没有数学天赋，最好的办法就是，看他能不能自学高等数学，而不是让他参加各种奥数培训，比赛。有参加过奥数培训的孩子，可能会积累很多课外数学知识，但学起高等数学来却未必有多少优势。

一，高等数学概论书单

如果你想通过一本书来大概学习了解高等数学，下面这两本书是不错的选择：

1， 《什么是数学:对思想和方法的基本研究》

-R·柯朗（Richard Courant） H·罗宾（Herbert Robbins）

复旦大学出版社

2，《数学概观》

-(瑞典)戈丁(LarsGarding)

科学出版社

这两本都是介绍高等数学的名著，内容涵盖了从数论，集合论，几何，到代数，拓扑，再到微积分的整个高等数学基石。

二，数学分析和微积分(点评和书目介绍)

中学学的少部分极限，微分(导数)，积分知识，和大学非数学专业学的高等数学还只是属于微积分范畴，缺乏严格的逻辑基础。而数学专业所学的数学分析是严格化的微积分，这种严格化大致有两个部分：

1，实数系统的构造，和基本性质

2，极限，导数，积分，微分以及它们的多元版概念的严格化。

我们先来点评第一部分，实数的构造大致有两种方法：Dedekind(戴德金)分割和Cauchy(柯西)序列。现在通用的教材几乎都是用Dedekind分割，毕竟这种方法更直观，便于理解，只有极少数教材用Cauchy(柯西)序列构造。但是，需要指出的是Cauchy(柯西)序列的方法更有普适性，比如在p-adic 数系中就只能用Cauchy(柯西)序列的方法，而且在现代数学中也更有代表性。对于开始学数学分析，熟悉Dedekind(戴德金)分割构造实数及其运算的学生而言，一个绝好的挑战性习题是用Cauchy(柯西)序列的方法重新从有理数构造实数。

构造完实数后，实数系有著名的八大基本定理：

1，Dedekind(戴德金)分割定理

2，Cauchy(柯西)极限定理

3，区间套定理

4，上(下)确界定理

5，有限覆盖定理

6，单调有界定理

7，列紧性定理

8，聚点定理

其中每个定理都可以刻画实数系，并推导出其他七个定理。所以学数学分析的另一个绝好的挑战性习题是证明这八大定理的等价性。这八大定理也是点集拓扑学的最主要发源地之一。

关于实数构造和基本性质我们就点评到此。关于第二部分极限，导数，积分，微分等概念的严格化是一整个非常宏大的系统，限于篇幅我们无法细细点评，所以我们只提一下这个严格化过程中的第一道门槛，那就是极限的ε - δ语言。这个ε - δ语言是非常具有代表性，浓缩了数百年变量数学发展的精华，充分体现了数学分析和微积分作为变量数学的特色。如何领悟这套ε - δ语言将是初学数学分析者的面临的一个巨大考验，考验的是你的抽象思维能力和逻辑推理能力而非你的知识储备。

下面是数学分析和微积分的书目介绍

1， 《纯数学教程》

-哈代（Hardy）

人民邮电出版社

适合对象：中学生，大学生，数学爱好者

这是微积分和数学分析的百年经典，我特地收藏了一本英文原版。从1908年首次出版到如今一百多年的时间内这本名著一直在全球不断出版发行。这本书对微积分和数学分析的处理非常精炼严格，是后世教材的典范。这本书还收录大量优秀的习题，所以也适合有数学天赋的中学生自学。

2《数学分析原理》

- 鲁丁 (Walter Rudin)

机械工业出版社

鲁丁的这本《原理》是强烈推荐的，尤其适合有志于基础数学研究的人。在风格上，这本书的语言是最接近现代数学。前面提到实数系八大定理是点集拓扑学的最主要发源地，而鲁丁的处理方式是直接把这些基本性质融入到点集拓扑的语言中。另外每个章节背后都有不少优秀习题，非常适合辅助学习。整本书才三百多页，但内容极为精练，除了数学分析的基本内容外，还涵盖了Fourier级数，微分形式，Lebesgue 积分理论等内容。

3《微积分学教程》

-(俄罗斯)菲赫金哥尔茨

高等教育出版社

这是一套举世公认的最优秀最完备的数学分析教材，虽然书目是微积分。这套教材的特色是它涵盖了(除了复分析外的)古典分析的几乎所有精华内容，还包括了古典分析的一些著名应用，比如证明自然常数e的超越性，代数学基本定理的古典分析证明。我仍然还记得大一在图书馆刚接触到这套书(繁体字版，三卷八本)时狂喜的心情，我正是通过非常认真地通读这套书来学完数学分析的，所以自认为分析的基础很扎实。不过对于大部分人而言，这套书更适合作为参考书而非教材。

4《数学分析原理》

-(俄罗斯)菲赫金哥尔茨

高等教育出版社

这是菲赫金哥尔茨继《微积分学教程》后推出的又一套力作，内容更精炼抽象，所以相比《微积分学教程》要少了不少例题。

5，《微积分和数学分析引论》

-柯朗(Courant), 约翰(John)

科学出版社

和菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》一样，这也是一部波澜壮阔的数学分析传世名著，内容非常详尽。处理实数理论时，作者将区间套定理作为公理和出发点，这本身也非常直观，也使得这套教材的起点降低到适合理工科学生。这部作品最大的优点是愿意花大量的篇幅讲述微分，积分等现代微积分概念的基本思想。在内容上非常详尽，包括大量典型例子，几何应用，物理应用和课后习题，甚至包括复分析，傅立叶积分，变分原理，详尽的微分方程理论。所以我强烈推荐这套书给所有打算学数学分析或微积分的人。

6《数学分析》

-(俄罗斯)卓里奇

高等教育出版社

卓里奇这套教材的一大特色是，没有通过有理数构造实数，而是直接给出实数公理体系，很适合喜欢公理化方法的读者！

7， 《陶哲轩实分析》

-陶哲轩

人民邮电出版社

从逻辑的角度来看，陶哲轩的这套教材是最完美的，因为从自然数公理体系和集合论，从自然数，到整数，到有理数，再到实数，每一步都有坚实的逻辑基础。另一个特色是用Cauchy(柯西)序列的方法，而不是用Dedekind(戴德金)分割构造实数。虽然书名叫实分析，其实是数学分析的教材，只是在最后讲到Lebesgue 测度和Lebesgue 积分。整本书在语言上也非常接近现代数学，习惯抽象语言的同学可以挑战这本书。

8《微积分》

-布里格斯，科克伦，吉勒特

中国人民大学出版社

这套教材非常适合理工科学生，内容非常详尽，十分强调微积分在现实生活，和自然界的各种应用。

上面这些教材都是属于大部头教科书，如果没有太多时间精力钻研，可以选择下面这本较为精炼的教材

9，《微积分入门》

-(日)小平邦彦

人民邮电出版社

小平邦彦这套教材虽然比较精炼，但还是照顾到了微积分学的严格性，风格非常亲切，课后习题也非常不错。书中处理欧拉公式的方法比较新颖，但显得有些啰嗦，大家可以比较一下我的科普文章《》中的处理方式。

10，《无穷分析引论——上》

-欧拉

山西教育出版社

很多人可能会觉得很奇怪，为什么会推荐这本古老的书。实际上，在微积分严格化运动之前，这本书一直是所有数学学徒的典范教材，即使到今天，也仍然是学数学分析和微积分最好的辅助阅读。通过此书，读者可以完全抛开严格性问题，直接欣赏欧拉处理无穷级数和无穷乘积的美妙思想。这套书有两册，只推荐上册，下册的内容比较杂，也比较过时。

国内也有不少优秀的数学分析和微积分教材，比如：

11《简明微积分》

-龚昇

中国科技大学出版社

龚昇的《简明微积分》是非常有特色的，一开始就抛开实属和极限的严格性问题，迅速直奔微积分的主题，特别是微积分学基本定理，这种处理方式最接近历史，也最突出微积分的思想。

12《微积分大意》

-项武义

高等教育出版社

和龚昇的《简明微积分》一样，这本书也是抛开严格性问题，注重讲述微积分的思想，作者愿意花大量篇幅，通过许多非常简单的例子(比如圆的面积，抛物线围成的面积，锥体体积)，来传递微积分的思想。所以《微积分大意》 和《简明微积分》这两本书起点不高，适合非常宽广的读者群。

其他国内教材，比如北大和复旦的教材也非常不错。复旦的教材起点比较低，没有讲实数的构造或公理体系，就难度而言可以算是介于数学分析和微积分之间。

三，高等代数(线性代数)(点评和书目介绍)

比起数学分析和微积分，高等代数和线性代数相对要简单一些。学习线性代数的一个关键点在于应用，现实中有相当庞大的问题可以简单提炼为线性问题，用线性代数的方法去解决。很多人学过线性代数却不懂得特征值，特征向量，矩阵对角化，化成标准型有什么用，这其实是很可悲的。因为这些概念在数学理论和现实应用中可谓是无处不在！

我举一个最简单的例子，许多的现实问题都可以归结成线性递归序列，归结为如何求这种递归序列的通项公式，中学只学过将递归序列凑成等比数列的方法，但是，应用矩阵对角化和化成标准型的方法，我们可以求出任何线性递归序列的通项公式。而这仅仅是线性代数最初步，最简单的应用！

所以理工科学生，如果没学相关应用，那线性代数真的是白学了。所以对于理工科学生，我强烈推荐下面这两套十分强调应用的国际通用教材，里面有大量线性代数应用的典型例子。

1《线性代数及其应用》

- 戴维 C.雷 (David C.Lay)， 史蒂文 R.雷 (Steven R.Lay)

机械工业出版社

2《线性代数》

- 史蒂文 J. 利昂 (Steven J.Leon)

机械工业出版社

对于数学系的学生而言，尤其是喜欢理论数学的学生，未必都要十分注重线性代数的现实应用，但从数学专业的学习角度来看，高等代数和线性代数有两个非常重要的延伸课程，《抽象代数》《李群》。初学者也可以考虑将这些内容合起来一起学，下面是两本这方面的国际通用教材。

3《代数》

-阿廷(Michael Artin)

机械工业出版社

4《代数学引论》

-(俄罗斯)柯斯特利金

高等教育出版社

线性代数课程还有一个最重要的延伸课程就是《泛函分析》，如果想以泛函分析为导向学线性代数，如果能接受比较抽象的语言，可以直接学下面这部教材：

5，《线性代数应该这样学》

-阿克斯勒 (Sheldon Axler)

人民邮电出版社

这本教材写法非常新颖，用向量空间和线性算子的观点贯穿全文，把行列式的内容放在后面，风格上是比较抽象，喜欢逻辑推理和抽象观点的人可以考虑选用这本教材。这本教材最大的优势是和泛函分析等现代数学的语言比较契合。

国内的高等代数教材，比较值得一提的是北大的教材

6《高等代数》

-北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组

高等教育出版社

这本教材内容安排也比较合理，我们上大学的时候就是用这本教材。书中花了较大篇幅讲线性代数，可惜未能配上一些典型的应用，比如对递归数列的应用。