Eric Friedlander，美国南加州大学数学教授。
Daniel Grayson，美国伊利诺伊大学香槟分校数学教授。
编者：Eric Friedlander，Daniel Grayson
译者：王勃
Daniel Quillen (1940 —2011) 是菲尔兹奖获得者，在代数、几何及拓扑方面都颇有建树。特别是在 1967 至 1977 这十年间，他完成了一系列卓越的论文，从而开创了全新的数学领域。Quillen 的思想能为数学家提供灵感与帮助，他的数学论著使得这些领域变得更加清晰和明确。尽管 Quillen 天赋异禀，但是熟悉他的人都对其慷慨和谦逊印象深刻。能够得到他的指导， 并且有机会去学习其卓越的学术成果，是我们的荣幸。对于 Quillen 的逝去，我们悲痛万分。
这篇纪念文章共由 12 名作者合作完成，其中包括 Quillen 的同事、合作者、学生和家人。Graeme Segal 对 Quillen 数学上的贡献做了全面而具有深度的总结；Hyman Bass 则重点论述了 Quillen 在代数 K-理论领域的贡献；Quillen 的合作者 Joachim Cuntz 和 Jean-Louis Loday 介绍了他们与 Quillen 合作完成的关于循环同调的工作；Quillen 在牛津的同事 Michael Atiyah 和 Ulrike Tillmann，以及 Quillen 在哈佛的同事 Barry Mazur，讲述了他们与 Quillen 共事时的往事；Dennis Sullivan 和 Andrew Ranicki 回忆了他们以前与 Quillen 在数学上的交流；Quillen 的学生 Ken Brown 和 Jeanne Duflot 则展现了学生视角下的 Quillen；本文的最后一部分来自于 Quillen 的妻子 Jean Quillen，她和 Quillen 共同育有六个孩子。Jean 描绘出了数学奇才 Quillen 在家庭中作为一个居家男人的形象。
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Joachim Cuntz**
**Joachim Cuntz 是威斯特法伦 · 威廉姆斯−明斯特大学数学教授。
Quillen 的合作者 Joachim Cuntz 介绍了他与 Quillen 合作完成的关于循环同调的工作
我第一次见到 Quillen 是在一次会议上（我记得是 1988 年）。那时候在完成他与 Jean-Louis Loday 的第一篇文章后，Quillen 已经在探索循环同调的不同方法和循环上链的不同描述方面发表了几篇文章。另一方面，在与 Alain Connes 的文章中，我学习到了从一个给定代数 A 上建立的特定泛代数上（奇或偶）的迹为基的循环上链的描述。当我们研究类似问题时，就变得更明确了。我很快发现 Quillen 有着同样的想法，并且我感到这种感觉是相互的。Quillen 非常和蔼，绝不沉溺于自己的名望当中。在 1989 年初，我写信给 Quillen，向他描述了我们的工作以及如何推进的一些想法。Quillen 回复我说，他在相同的方向取得很大的进展，并建议我们开始合作。我对于这个提议感到很荣幸。一段时间后，我们就真正开始了合作，彼此通信次数也在增加（电子邮件在那时已经存在，我也有时采用，但是我们仍然采用某种程度上更加“落后”的通信方式 —— 部分原因是我并不像 Quillen 那样熟练掌握
）。随后我们也相互进行了学术访问。Quillen 到海德堡来了几次，我也去牛津访问过数回（Quillen 和他的妻子 Jean 热情招待了我）。那时候，Quillen 对 C
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-代数也很感兴趣，经常问我一些关于 C
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-代数的技术问题。
一次 Quillen 访问海德堡时，我们骑自行车游览了内卡河谷。本来我们计划沿着河流骑到 45 公里远就乘火车回来。但是当我们到达茨温根贝格的火车站时，时间还早，我问 Quillen，他也同意我们继续骑一会儿。当我们到达下 一个车站时还是这种情况，就这样最终我们骑车回到了海德堡。我们总共骑了 100 公里。对于没有经验的骑手来说，这已经是相当长的距离了。我记得 Quillen 非常累，以致他第二天几乎不能动了。另一次，Quillen 在我的钢琴上演奏了他自己创作的一些乐章，类似于海顿和莫扎特或者其他一些作曲家的风格。Quillen 演奏得非常传神令我印象深刻。这似乎是另一个展现 Quillen 美妙灵感的例子（这次体现在音乐中）。
在合作的初期，我主要负责计算和一些基础性的工作。我惊讶于 Quillen 如何把这些发展成宏伟体系的。举例来说，我在计算中用到了双复形的自然投射算子。不久之后，Quillen 就发给我一些章节，将这个算子令人震惊地解释为特征值为 1 的 Karoubi 算子的一般特征空间上的投影，然而这却是一个深刻的结论。Quillen 对于计算和公式的理解有着惊人的天赋，因此他能够将我们的计算嵌入到给定代数下的准自由扩张的形式中。我记得 Quillen 对于这个成果非常谦逊。他告诉我，“这个结果只是由于我受过训练，使得我可以按照特定的方式思考，从而结果便水到渠成”。最终，经过五年时间，在“Cyclic homology and nonsingularity”(J. Amer. Math. Soc., 1995) 一文中，我们完成了两人合作过程中最伟大的成果。这篇文章中包含着对循环同调、上同调以及双变理论的一个新的诠释（双变理论也因此成为带有附加结构的代数上循 环理论的基础，附加结构包括整体和局部理论或者等变化理论），并且为我们合作开始时的设想提供了统一而圆满的解答。我们还发表了两篇长文章，在构造的基础下发展了一般的框架。我想，在那时我们都认为这应该是两人合作的最终成果（实际上我认为 Quillen 应该比我更加轻松一点儿，因为我们合作的项目比预想庞大了许多，并且比原计划多花了很多时间）。然而，不久之后，我们又发现在我们的研究中起到重要作用的通用扩张代数 JA 连同代数 A，还有着其他的重要特性。尽管在 Wodzicki 意义下并不是 H-单位的，它有一个性质（我们称之为近似 H-单位），使得它可以在周期循环上同调下进行分割，从而类似于 Wodzicki 的设想。我已经思考周期循环理论下的分割问题很多年了。不久之后，我们就发现，实际上任何准自由代数的理想都有这个性质。这个发现直接证明了一般情况下周期循环上同调中的分割问题。当有了这些想法之后，Quillen 立刻来到海德堡与我商讨细节。我们的合作也因此更上一层楼，一直合作到我们给出了周期循环理论（以及同调、上同调、双变理论）下分割问题的完整证明；参见 Excision in bivariant periodic cyclic cohomology, Invent. Math. 127 (1997)。我们总共有四篇合作的论文和两篇合作的通告。我非常感谢曾得到过 Quillen 的帮助。
Jean-Louis Loday‡‡
‡‡Jean-Louis Loday 是高等数学研究院 (Institut de Recherche Mathéma-
tique Avancée) 已故的数学教授。
Quillen 的合作者 Jean-Louis Loday 介绍了他与 Quillen 合作完成的关于循环同调的工作
我于 1970 年代早期开始学术生涯，当时 Quillen 刚刚开创了代数 K-理论，而我与 Quillen 见过几次，并参与了高等 K-理论的研究。 后来，我有幸在牛津做演讲，而 Quillen 正是听众之一。 几周之后，我收到了 Quillen 友善的信件，他告诉我如何完结我已经开始的工作。 这就开始了我与他在循环同调上卓越的合作，而 Quillen 对我的数学学术生涯起了重要的作用。 但是，还有几点要提。 当我在 Jean-Louis Verdier 的指导下在巴黎写硕士论文时，我必须处理 van Kampen 定理，而这与 Quillen 的一篇论文 [1] 有着很大的关联。 这篇 3 页的论文是瑰宝，有着法国剧作家高乃依和拉辛的风范： 一个概念，一个结果，以及一个观点。 这里，概念指单纯群，结果指任意双单纯群可以提升为相同范畴的同伦谱序列，观点则是注意对角单纯群的性质。
既然我提到了 Quillen 的第一篇文章，我就再评论一下三十年后 Quillen 发表的最后一篇文章。 我们在循环同调上合作，Quillen 有一个设想，即非单位伴随代数应该有着特殊的同调和同伦不变量。 古典处理非单位代数的方法是增加一个单位，但是 Quillen 觉得这个技巧太简单而不会有用。 我们确实得到 Hochschild 同调和循环同调上的一些结果，但是 Quillen 的目标是创建一个 K-理论不变量。 为了明晰这项任务，首先要记得 K1 是行列式的一般形 式，而可逆矩阵的行列式位于环的单位群中。 但是没有单位元素（就是 1）就 没有单位。 事实上，Quillen 并没有从 K1 开始，而是从 K0 开始，这正是他 最后一篇论文 [2] 的主题。 这个想法现阶段还没有发展成熟。
在这两篇文章之间，Quillen 完成了大量的工作，在本文其他部分会有所介绍，也可以参见我主页上的纪念文章
http://www-irma.u-strasbg.fr/∼loday/DanQuillen-par-JLL.pdf
Quillen 深深影响了我的数学学术生涯。 能阅读他的文章，现场聆听他的讲座，甚至与他合作，是我莫大的荣幸！
谢谢你，Quillen！
参考文献
[1] D. Quillen, Spectral sequences of a double semi-simplicial group, Topology 5 (1966), 155−157.
[2] D. Quillen, K0 for nonunital rings and Morita invariance, J. Reine Angew. Math. 472 (1996), 197−217.
完
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整
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目
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Quillen 的合作者 Joachim Cuntz 和 Jean-Louis Loday 介绍了他们与 Quillen 合作完成的关于循环同调的工作
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Quillen 在牛津的同事 Michael Atiyah 和 Ulrike Tillmann，以及 Quillen 在哈佛的同事 Barry Mazur，讲述了他们与 Quillen 共事时的往事
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Dennis Sullivan 和 Andrew Ranicki 回忆了他们以前与 Quillen 在数学上的交流
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Quillen 的学生 Ken Brown 和 Jeanne Duflot 则展现了学生视角下的 Quillen
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Quillen 的妻子 Jean Quillen，Jean 描绘出了数学奇才 Quillen 在家庭中作为一个居家男人的形象